Twierdzenie Gaussa-Wantzela

Liczby boków dla wszystkich wielokątów foremnych dających się skonstruować cyrklem i linijką, mniejsze od tysiąca: 3=20×3 4=22 5=20×5 6=21×3 8=23 10=21×5 12=22×3 15=20×3×5 16=24 17=20×17 20=22×5 24=23×3 30=21×3×5 32=25 34=21×17 40=23×5 48=24×3 51=20×3×17 60=22×3×5 64=26 68=22×17 80=24×5 85=20×5×17 96=25×3 102=21×3×17 120=23×3×5 128=27 136=23×17 160=25×5 170=21×5×17 192=26×3 204=22×3×17 240=24×3×5 255=20×3×5×17 256=28 257=20×257 272=24×17 320=26×5 340=22×5×17 384=27×3 408=23×3×17 480=25×3×5 510=21×3×5×17 512=29 514=21×257 544=25×17 640=27×5 680=23×5×17 768=28×3 771=20×3×257 816=24×3×17 960=26×3×5

Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że $n$-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, jeżeli $n$ jest liczbą postaci $2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{s},$ gdzie $p_{1},p_{2},\dots p_{s},$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd (2019) znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: $F_{0}=3,$ $F_{1}=5,$ $F_{2}=17,$ $F_{3}=257,$ $F_{4}=65537$ i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

W szczególności we wzorze może być $s=0$ (wielokąty o liczbie boków będącą potęgą dwójki są konstruowalne) lub $k=0$ (twierdzenie obejmuje także wielokąty o nieparzystej liczbie boków). Tak więc, konstruowalne są m.in. pięciokąt $(k=0,\ s=1,\ p_{1}=F_{1})$ i sześciokąt foremny $(k=1,\ s=1,\ p_{1}=F_{0}),$ ale już nie siedmiokąt.

Historia

W starożytności matematycy potrafili konstruować za pomocą cyrkla i linijki $n$-kąty foremne dla $n$ postaci $2^{k},3\cdot 2^{k},5\cdot 2^{k}$ i $3\cdot 5\cdot 2^{k}.$

W roku 1796 Gauss skonstruował siedemnastokąt foremny, a w roku 1801 udowodnił, że warunek podany w twierdzeniu jest wystarczający dla przeprowadzenia konstrukcji. Przypuszczał też, że jest to warunek konieczny, jednak dowodu nie podał. W roku 1837 wykazał to Pierre Wantzel.

257-kąt foremny skonstruowano w 1832 roku. Sposób konstrukcji klasycznej 65537-kąta foremnego po raz pierwszy opublikował nauczyciel gimnazjum Johann Gustav Hermes w 1894. Sama konstrukcja zajmuje 200 stron, Hermes pracował nad nią przez 10 lat.

Związek z trójkątem Pascala

Jedynymi znanymi konstruowalnymi wielokątami foremnymi o nieparzystej liczbie boków są te, których liczba boków jest dzielnikiem $2^{32}-1=3\cdot 5\cdot \ 17\cdot 257\cdot 65537,$ tj. 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257,..., 4294967295 (z wyjątkiem 1). William Watkins zauważył, że liczby tego ciągu zapisane w systemie binarnym, znajdują się w pierwszych 32 wierszach trójkąta Pascala mod 2:

         1 = 1
         3 = 11
         5 = 101
        15 = 1111
        17 = 10001
        51 = 110011
        85 = 1010101
       255 = 11111111
       257 = 100000001
       771 = 1100000011
      1285 = 10100000101
      3855 = 111100001111
      4369 = 1000100010001
     13107 = 11001100110011
     21845 = 101010101010101
     65535 = 1111111111111111
     65537 = 10000000000000001
    196611 = 110000000000000011
    327685 = 1010000000000000101
    983055 = 11110000000000001111
   1114129 = 100010000000000010001
   3342387 = 1100110000000000110011
   5570645 = 10101010000000001010101
  16711935 = 111111110000000011111111
  16843009 = 1000000010000000100000001
  50529027 = 11000000110000001100000011
  84215045 = 101000001010000010100000101
 252645135 = 1111000011110000111100001111
 286331153 = 10001000100010001000100010001
 858993459 = 110011001100110011001100110011
1431655765 = 1010101010101010101010101010101
4294967295 = 11111111111111111111111111111111

Następny wiersz w tym ciągu, 4294967297, jest kolejną liczbą Fermata: F₅ = 2³² + 1. Ponieważ jednak nie jest ona liczbą pierwszą (4294967297 = 641 · 6700417), nie można skonstruować wielokąta foremnego o takiej liczbie boków.

Bibliografia

• Witold Więsław: Matematyka i jej historia. Opole: Wydawnictwo NOWIK, 1997. ISBN 83-905456-7-5. Brak numerów stron w książce
• John H. Conway, Richard K. Guy: Księga liczb. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999. ISBN 83-204-2366-X. Brak numerów stron w książce